数学公式推导m远小于M的本质原因

王尚互动：为什么牛顿第二定律实验中要求m<<M？验证加速度a与F的实验中为什么要求m<<M？

在“验证牛顿第二定律“实验中，研究加速度与力的关系时发现，实验数据分析后，加速度a与F图像并不是直线关系，特别是在F较大的时候，试分析其原因。

下面，王尚老师就来带着大家分析这个问题，同时从数学角度深入分析为何牛顿第二定律实验中要求m<<M？

在做a – F关系实验时，用托盘及其中砝码重力mg代替了小车所受的拉力F。

设小车实际加速度为a，把小车、托盘和砝码三者看做一个整体，由牛顿第二定律可得：mg=（m+M）a，即a=mg/（M+m）

在做实验时，如果想当然的认为F = mg，设这种情况下小车的加速度为a′，则a′= mg/M。

在本实验中，M保持不变，a’与mg（F）成正比，而实际加速度a与mg成非线性关系，且m越大，图像斜率越小。

理想情况下，加速度a与实际加速度a差值为

△a=mg/M-mg/（M+m）=m²g/[M（M+m）]=g/[M（M/m²+1/m）]

上式可见，m取不同值，△a不同，m越大，△a越大，当M >> m时，a≈a’，即△a→0。

这就是数学推导过程，也就是该实验必须满足M >> m的本质原因所在。

本题误差是由于当托盘及其中砝码质量较大时，不能很好满足M >> m，造成真实的数据a与虚假的数据a′存在很大的差异（△a不等于零）。

系统误差

本实验的误差来源：因原理不完善引起的误差，用托盘及其中砝码的总重力mg代替小车的拉力，而实际小车所受的拉力要小于托盘及其中砝码的总重力，这个托盘及其中砝码的总质量越接近小车和砝码的总质量，误差越大，反之托盘及其中砝码的总质量越小于小车和砝码的总质量，由此引起的误差就越小。因此满足托盘及其中砝码的总质量m远小于小车和砝码的总质量M的目的就是为了减小因实验原理不完善而引起的误差。此误差可因为M >> m而减小，但不可能消去此误差。

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